«Есть ли смысл размещать на сайте счетчики статистики от мейла, рамблера, лайф-интернета? Словом, любые другие счетчики кроме Яндекс Метрики и Гугл Аналитики? Если да, то в чем заключается польза?»

В общем случае это редко имеет смысл. Яндекс + Google покрывают 90% задач. А также каждый новый счетчик замедляет загрузку сайта, поэтому злоупотреблять не рекомендую. Тот случай, когда «больше» не значит «лучше».

Польза есть в узких, специфических задачах. Например:

1. Если ЦА — нишевые группы, сконцентрированные на конкретной платформе (например, регионы, 45+, пользователи Mail.ru).
2. Для атрибуции конверсий при закупке трафика в MyTarget, AdRiver и т.п. Или когда нужны специфичные метрики (глубина прокрутки LiveInternet, геоданные Rambler).
3. Юридическое требование хранить данные в РФ (Rambler Top100 для госпроектов) или локально, если сайт работает в закрытом корпоративном контуре.

Плюс, который вы получите: возможность сравнивать данные из разных систем (однако высок риск конфликта метрик и путаницы в отчетах).

Также отметим, что многие счетчики устарели и по функционалу сильно отстают от Яндекс Метрики и Гугл Аналитики: собирают только базовые данные, сложны в интеграциях, отрицательно влияют на SEO, передают неточные данные. Так что ВМЕСТО Яндекс Метрики и Гугл Аналитики ставить узкий счетчик категорически не рекомендуется.

Давайте для начала определимся, с какими целями вообще на сайты ставят счетчики статистики от различных систем? 

1. Очевидно, для сбора данных о посетителях. Здесь есть признанные лидеры рынка, отраслевой стандарт для работы в России: Яндекс Метрика. Ранее было крайне популярно ставить на сайт также Google Analytics. Сейчас с этим нужно быть аккуратным, чтобы не попасть под действие закона о хранении данных за рубежом. Иногда можно было встретить и более экзотические варианты в виде Adobe Analytics и т.п. Другие системы от Li.ru, Mail.ru, Рамблера и подобные использовались существенно реже именно с целью сбора данных. Связано это с тем, что возможностей у них меньше, чем у той же Метрики, поэтому в них просто пропадает смысл. Нет ни единого отчета, который бы отсутствовал в системе от Яндекса.
2. Сбор аудитории для ретаргетинга. В целом, это касается скорее только счетчика Top.mail.ru, он нужен был для настройки ретаргетинга в системе myTarget. На сегодняшний день, на мой взгляд, это единственная причина для установки подобного счетчика.

Отсюда и получается, что если вас не обязывают ставить дополнительные счетчики, не делайте этого сами, смысла в этом почти нет. Все необходимые данные можно получить и в Метрике, для этого нужно подружиться с UTM-метками и не пренебрегать анализом собранных данных.

Смысл есть, наверно, только в очень специфических случаях. Например, майл ру я слышал, что имеет отчеты по публикациям в ВК и других сервисах майл.ру. У Рамблера вроде как больше информации дается про их сервисы и все, что связано с просмотром страницы и чтением. 

Лайф-интернет ставил, было дело лет 10 назад, на все сайты. Мы тогда говорили: “А вдруг метрика и аналитикс сломаются и перестанут работать, тогда сможем все равно клиенту предоставить необходимую информацию”. Конечно же никто не ломался критично надолго, поэтому отчасти для нас это был некий “талисман” для лучшей видимости.